Lien entre le signe de la dérivée et les variations d'une fonction

Théorème

Soit \(f\) une fonction dérivable sur un intervalle.

• \(f\) est croissante sur l’intervalle si et seulement si \(f^{\prime}\) est positive sur l’intervalle.
• \(f\) est décroissante sur l’intervalle si et seulement si \(f^{\prime}\) est négative sur l’intervalle.
• \(f\) est constante sur l’intervalle si et seulement si \(f^{\prime}\) est nulle sur l’intervalle.
  

Démonstration (partielle)

Soit \(f\) une fonction dérivable sur un intervalle \(I\).
On va démontrer que, si \(f\) est croissante sur l'intervalle \(I\), alors \(f^{\prime}\) est positive sur cet intervalle.
Soit \(a\) un nombre de l'intervalle et \(h\) un nombre non nul tel que \(a+h\) est aussi dans l'intervalle.

On raisonne par disjonction des cas.

• Si \(h>0\), alors \(a<a+h\), donc \(f(a)\leqslant{f(a+h)}\) car \(f\) est croissante.
  On en déduit que le taux de variation \(\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}\) est positif.
  Ainsi, le nombre dérivé \(f'(a)\) est positif.
  
• Si \(h<0\), alors \(a>a+h\), donc \(f(a)\geqslant{f(a+h)}\) car \(f\) est croissante.
  On en déduit que le taux de variation \(\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}\) est positif.
  

Ainsi, le nombre dérivé \(f'(a)\) est positif. Cela étant vrai pour tout nombre réel \(a\) de l'intervalle \(I\), on en déduit que \(f'\) est positive sur \(I\).